Bac Lab · Exercices types

Exercices réalistes du bac de maths

Chaque exercice combine 2 concepts ou plus, demande du raisonnement et une interprétation — comme le jour J. Avec attendus de l'examinateur, erreurs classiques et correction structurée.

Style de correction officiel

Annoncer la méthode ou le théorème utilisé avant tout calcul.
Justifier chaque étape : « car… », « d'après… », « par… ».
Conclure par une phrase qui répond explicitement à la question posée.
Aucune étape n'est implicite : pas de raccourci sans explication.

Difficulté :

Fonctions + Dérivation

Étude d'une fonction polynomiale

Intermédiaire

FonctionsDérivation

Énoncé

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x + 2.

On note 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Calculer f′(x).
Étudier le signe de f′(x) et dresser le tableau de variations de f.
Déterminer les extremums locaux de f et interpréter graphiquement.

Attendus du bac

Compétences évaluées

Calculer
Raisonner
Interpréter

Ce que l'examinateur attend

Présenter le calcul de la dérivée terme à terme avec ses formules.
Justifier le signe de la dérivée pour conclure sur les variations.
Conclure par une phrase d'interprétation (variations, extremum).

Points à sécuriser

Le tableau de variations bien rédigé vaut presque toujours 1 à 2 points.
Citer le théorème (« f dérivable car… ») rapporte le point de raisonnement.

Raisonnement attendu

Reconnaître que f est dérivable sur ℝ comme fonction polynôme.
Calculer f′ puis factoriser pour étudier son signe.
Lire les variations dans un tableau et interpréter en termes d'extremums.

Solution pas-à-pas

1
Étape 1 — Dérivée
f est dérivable sur ℝ comme fonction polynôme. f′(x) = 3x² − 3.
2
Étape 2 — Factorisation Étape clé
f′(x) = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
3
Étape 3 — Signe et variations Étape clé
f′(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[ et f′(x) < 0 sur ]−1 ; 1[. Donc f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[.
4
Étape 4 — Interprétation Étape clé
f admet un maximum local en x = −1 avec f(−1) = 4 et un minimum local en x = 1 avec f(1) = 0. Graphiquement, 𝒞 admet deux tangentes horizontales en ces points.

Ce qui rapporte les points

L'élève doit citer que f est dérivable comme fonction polynôme, factoriser f′(x), présenter un tableau de variations clair, puis conclure par une phrase nommant les extremums et leur interprétation graphique.

Erreur classique

Étudier le signe de f′(x) directement sur 3x² − 3 sans factoriser : on perd le point de raisonnement et on risque une erreur de signe.

Exponentielle + Dérivation d'un produit

Produit avec exponentielle

Niveau bac

ExponentielleDérivation

Énoncé

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = (x − 2)·e^x.

Calculer g′(x) et la factoriser.
Étudier le signe de g′(x) sur ℝ.
En déduire les variations de g et le minimum éventuel.

Attendus du bac

Compétences évaluées

Calculer
Raisonner
Interpréter

Ce que l'examinateur attend

Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle (e^a × e^b = e^(a+b)).
Justifier que e^x > 0 avant d'étudier le signe d'une expression.
Donner du sens au résultat (croissance, décroissance, limite).

Points à sécuriser

Mentionner « e^x > 0 pour tout x » est un point de raisonnement classique.

Raisonnement attendu

Identifier le produit u(x)·v(x) avec u(x) = x − 2 et v(x) = e^x.
Appliquer (uv)′ = u′v + uv′, puis factoriser par e^x.
Utiliser e^x > 0 pour réduire l'étude du signe à celle d'un facteur simple.

Solution pas-à-pas

1
Étape 1 — Identifier u et v
u(x) = x − 2 (donc u′(x) = 1) et v(x) = e^x (donc v′(x) = e^x).
2
Étape 2 — Appliquer (uv)′ Étape clé
g′(x) = 1·e^x + (x − 2)·e^x = (x − 1)·e^x.
3
Étape 3 — Signe Étape clé
Pour tout x ∈ ℝ, e^x > 0. Donc g′(x) a le signe de (x − 1) : négatif sur ]−∞ ; 1[, positif sur ]1 ; +∞[.
4
Étape 4 — Conclusion Étape clé
g est décroissante sur ]−∞ ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[. Elle admet un minimum global en x = 1 : g(1) = (1 − 2)·e^1 = −e.

Ce qui rapporte les points

L'élève doit nommer la règle (uv)′ = u′v + uv′, factoriser par e^x, justifier explicitement que e^x > 0 pour réduire l'étude du signe, puis conclure par une phrase nommant le minimum et sa valeur exacte.

Erreur classique

Oublier de factoriser par e^x après avoir dérivé : on n'arrive pas à conclure sur le signe, ce qui coûte les points de raisonnement et de conclusion.

Probabilités conditionnelles + Formule des probabilités totales

Arbre pondéré et probabilité conditionnelle

Niveau bac

Probabilités

Énoncé

Une usine produit des pièces. 70 % proviennent de la machine A, 30 % de la machine B.

2 % des pièces de A sont défectueuses, contre 5 % pour B.

On prélève au hasard une pièce dans la production.

Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse.
Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?

Attendus du bac

Compétences évaluées

Modéliser
Calculer
Interpréter

Ce que l'examinateur attend

Définir clairement les événements (« Soit R : la boule est rouge »).
Construire un arbre pondéré ou un tableau pour modéliser.
Conclure par une phrase contenant la probabilité et son contexte.

Points à sécuriser

Un arbre pondéré correctement tracé = 1 point automatique.
La formule P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) doit apparaître explicitement.

Raisonnement attendu

Définir clairement les événements A, B et D (« la pièce est défectueuse »).
Modéliser la situation avec un arbre pondéré : 1ère branche A/B, 2nde branche D/D̄.
Utiliser la formule des probabilités totales puis la formule de Bayes pour la conditionnelle inverse.

Solution pas-à-pas

1
Étape 1 — Définir les événements
Soit A : « la pièce vient de A », B : « la pièce vient de B », D : « la pièce est défectueuse ». On a P(A) = 0,7, P(B) = 0,3, P_A(D) = 0,02, P_B(D) = 0,05.
2
Étape 2 — Probabilité de D (probabilités totales) Étape clé
P(D) = P(A)·P_A(D) + P(B)·P_B(D) = 0,7 × 0,02 + 0,3 × 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029.
3
Étape 3 — Conditionnelle inverse (Bayes) Étape clé
P_D(B) = P(B ∩ D) / P(D) = (0,3 × 0,05) / 0,029 = 0,015 / 0,029 ≈ 0,517.
4
Étape 4 — Interprétation Étape clé
Environ 51,7 % des pièces défectueuses proviennent de la machine B, alors que B ne produit que 30 % des pièces : la machine B est nettement plus défaillante.

Ce qui rapporte les points

L'élève doit définir les événements avec une phrase, tracer l'arbre pondéré (1 point quasi automatique), citer explicitement la formule des probabilités totales puis celle des probabilités conditionnelles, et conclure par une phrase d'interprétation dans le contexte.

Erreur classique

Confondre P_D(B) avec P_B(D) : oublier que la conditionnelle inverse change le dénominateur. Sans la formule de Bayes écrite, l'examinateur ne peut pas attribuer les points.

Récurrence + Majoration + Convergence

Suite par récurrence et majoration

Niveau bac

Suites

Énoncé

Soit (uₙ) la suite définie par u₀ = 0 et, pour tout n ∈ ℕ, u_{n+1} = (1/2)·uₙ + 3.

Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, uₙ ≤ 6.
Démontrer que (uₙ) est croissante.
En déduire que (uₙ) converge et déterminer sa limite.

Attendus du bac

Compétences évaluées

Raisonner
Calculer

Ce que l'examinateur attend

Pour une récurrence : Initialisation → Hérédité → Conclusion (les 3 étapes nommées).
Énoncer la propriété P(n) à démontrer.
Vérifier explicitement le passage de P(n) à P(n+1).

Points à sécuriser

Nommer les trois étapes de la récurrence rapporte la moitié des points.
L'oubli de la conclusion (« donc P(n) est vraie pour tout n ») coûte un point.

Raisonnement attendu

Pour la récurrence : énoncer P(n), traiter Initialisation puis Hérédité, conclure.
Pour la croissance : étudier le signe de u_{n+1} − uₙ ou utiliser la majoration.
Pour la convergence : invoquer le théorème de convergence monotone (croissante et majorée).

Solution pas-à-pas

1
Étape 1 — Initialisation
P(n) : « uₙ ≤ 6 ». Pour n = 0 : u₀ = 0 ≤ 6, donc P(0) est vraie.
2
Étape 2 — Hérédité Étape clé
Supposons P(n) vraie pour un n fixé : uₙ ≤ 6. Alors u_{n+1} = (1/2)·uₙ + 3 ≤ (1/2)·6 + 3 = 6. Donc P(n+1) est vraie.
3
Étape 3 — Conclusion de la récurrence Étape clé
Par récurrence, pour tout n ∈ ℕ, uₙ ≤ 6.
4
Étape 4 — Sens de variation Étape clé
u_{n+1} − uₙ = (1/2)·uₙ + 3 − uₙ = 3 − (1/2)·uₙ = (1/2)(6 − uₙ). Or uₙ ≤ 6 donc 6 − uₙ ≥ 0, donc u_{n+1} − uₙ ≥ 0 : (uₙ) est croissante.
5
Étape 5 — Convergence Étape clé
(uₙ) est croissante et majorée par 6, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite ℓ. En passant à la limite : ℓ = (1/2)ℓ + 3, soit ℓ = 6.

Ce qui rapporte les points

L'élève doit nommer les trois étapes de la récurrence (Initialisation, Hérédité, Conclusion), citer le théorème de convergence monotone par son nom, et présenter le passage à la limite proprement avec la valeur exacte ℓ = 6.

Erreur classique

Sauter l'étape « Conclusion » de la récurrence ou affirmer la convergence sans citer le théorème de convergence monotone : on perd jusqu'à 2 points sur 5.

Logarithme + Modélisation + Interprétation

Modélisation avec logarithme népérien

Niveau bac

LogarithmeModélisation

Énoncé

Une population bactérienne est modélisée par N(t) = 200·e^(0,3t), où t est exprimé en heures et N(t) en milliers d'individus.

Au bout de combien d'heures la population atteint-elle 1 000 000 d'individus ?
Donner une valeur arrondie à l'heure et interpréter dans le contexte.

Attendus du bac

Compétences évaluées

Calculer
Raisonner

Ce que l'examinateur attend

Préciser l'ensemble de définition (ln défini sur ]0 ; +∞[).
Utiliser ln(ab) = ln(a) + ln(b) en justifiant.
Vérifier les solutions d'une équation dans le domaine.

Points à sécuriser

Donner l'ensemble de définition rapporte presque toujours 1 point.

Raisonnement attendu

Traduire la question en équation : 200·e^(0,3t) = 1000 (en milliers).
Isoler e^(0,3t) puis appliquer le logarithme népérien.
Vérifier le domaine (t > 0) et interpréter dans le contexte biologique.

Solution pas-à-pas

1
Étape 1 — Mise en équation
1 000 000 d'individus = 1 000 milliers. On résout 200·e^(0,3t) = 1 000.
2
Étape 2 — Isoler l'exponentielle Étape clé
e^(0,3t) = 1 000 / 200 = 5.
3
Étape 3 — Appliquer ln (croissant sur ]0 ; +∞[) Étape clé
0,3t = ln(5), donc t = ln(5) / 0,3.
4
Étape 4 — Valeur approchée et interprétation Étape clé
t ≈ 1,609 / 0,3 ≈ 5,4 h. La population atteint 1 million d'individus au bout d'environ 5 h 24 min.

Ce qui rapporte les points

L'élève doit poser proprement l'équation, justifier l'application de ln (fonction strictement croissante donc bijective), donner la valeur exacte ln(5)/0,3 puis une valeur approchée, et terminer par une phrase d'interprétation dans le contexte (heures, minutes).

Erreur classique

Donner uniquement la valeur approchée sans la valeur exacte ln(5)/0,3 : on perd le point de calcul exact attendu au bac.

Raisonnement direct + Arithmétique

Démonstration directe par factorisation

Basique

Raisonnement

Énoncé

Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre n(n+1)(n+2) est divisible par 6.

Justifier que parmi trois entiers consécutifs, l'un est divisible par 2 et un autre est divisible par 3.
En déduire le résultat.

Attendus du bac

Compétences évaluées

Raisonner

Ce que l'examinateur attend

Annoncer le type de raisonnement (direct, par l'absurde, par disjonction).
Mobiliser un théorème en le citant.
Conclure par CQFD ou une phrase équivalente.

Points à sécuriser

Le simple fait d'identifier le type de raisonnement vaut un point.

Raisonnement attendu

Annoncer le type de raisonnement : raisonnement direct par disjonction des restes modulo 2 et 3.
Observer que 6 = 2 × 3 et que 2 et 3 sont premiers entre eux.
Conclure proprement par CQFD.

Solution pas-à-pas

1
Étape 1 — Divisibilité par 2
Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair. Donc parmi n, n+1, n+2, au moins un est divisible par 2.
2
Étape 2 — Divisibilité par 3 Étape clé
Les restes de n, n+1, n+2 modulo 3 sont trois valeurs consécutives, donc couvrent {0, 1, 2}. L'un des trois est donc divisible par 3.
3
Étape 3 — Combinaison Étape clé
Le produit n(n+1)(n+2) est divisible par 2 et par 3. Comme pgcd(2, 3) = 1, il est divisible par 2 × 3 = 6. CQFD.

Ce qui rapporte les points

L'élève doit annoncer le raisonnement direct, justifier séparément la divisibilité par 2 et par 3, puis citer le résultat « 2 et 3 premiers entre eux donc le produit est divisible par 6 ». La conclusion CQFD est attendue.

Erreur classique

Affirmer directement « le produit est divisible par 6 » sans détailler les étapes par 2 et par 3 : la démonstration n'est pas valide aux yeux de l'examinateur.

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